Fundamentos de Matemática Financiera



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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

  • Curso de Preparación y Evaluación de Proyectos
  • EVALUACIÓN DE PROYECTOS:
    • Introducción
    • Matemáticas Financieras
    • Flujo de Fondos
    • Criterios de Decisión
      • VAN
      • TIR
      • Otros
  • Temario
  • MATEMÁTICA FINANCIERA
  • Valor del dinero en el tiempo
  • Valor futuro y valor actual
  • Tasas de interés compuesta y simple
  • Anualidades
  • Inflación y tasas de interés
  • Temario
  • Corresponde a la rentabilidad que un agente económico exigirá por no hacer uso del dinero en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro
  • Valor del dinero en el tiempo
  • Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro.
  • Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco ganando una rentabilidad.
  • La tasa de interés (r) es la variable requerida para determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos periodos distintos de tiempo
  • La sociedad es un participante más que también tiene preferencia intertemporal entre consumo e inversión presente y futura.
  • Periodo 0
  • (Año 0)
  • $1.000
  • $1.100
  • Si r = 10%
  • Periodo 1
  • (Año 1)
  • Valor del dinero en el tiempo ...continuación...
  • Ejemplo
  • Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en el banco.
  • a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10% ?
  • 1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad)
  • 100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)
  • Valor del dinero en el tiempo ...continuación
  • Si :
  • Sólo hay 2 periodos
  • Ingreso sólo hoy (Y0=1.000)
  • Puede consumir hoy o en un año
  • (C0, C1)
  • Rentabilidad exigida por no
  • consumir hoy: r=10%
  • b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un año si consume $200 hoy ?
  • Si C0=200,
  • C1=(1000-200)*1,1= 880
  • Entonces
  • C1 = (Y0 – C0)*(1+r)
  • (200, 880)
  • (500, 550)
  • (800, 220)
  • 1.100
  • Consumo total= 200 + 880 = 1.080
  • Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
  • 0
  • 3
  • VF
  • Año:
  • VA
  • 1
  • 2
  • Si son 3 periodos
  • Caso General:
  • VALOR FUTURO
  • 0
  • 1
  • VF
  • VA
  • Año:
  • Sólo 1 periodo
  • Donde:
  • r = tasa de interés
  • Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
  • 0
  • 3
  • VF
  • Año:
  • VA
  • 1
  • 2
  • Caso 3 periodos
  • Caso General:
  • VALOR ACTUAL
  • ...continuación...
  • 0
  • 1
  • VF
  • VA
  • Año:
  • Caso 1 periodo
  • Donde:
  • r = tasa de interés
  • Ejemplo VF :
  • Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
  • a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.
  • ¿Cuál será su valor al final del tercer año?
  • Año 0: 1.000
  • Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120
  • Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254
  • Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405
  • VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
  • Alternativamente:
  • ...continuación...
  • Ejemplo VA:
  • Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
  • b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de
  • interés anual es de 15%.
  • ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?
  • Año 4: 3.300
  • Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6
  • Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3
  • Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8
  • Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8
  • VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 1.000 / 1,749 = 1.886,8
  • Alternativamente:
  • ...continuación
  • Ejemplos VF y VA:
  • Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
  • Caso especial
  • c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3.
  • ¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?
  • ...continuación
  • VF= 1.000 * (1+r)3 = 1.643
  • (1+r)3 = 1,64
  • (1+r) = (1,64)1/3
  • 1+r = 1,18
  • r = 0,18
  • Tasas de interés compuesta y simple
  • Tasa de interés compuesta
  • Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un valor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.
  • El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados y este total es el que gana intereses para un segundo periodo.
  • VF = Monto capitalizado (valor final)
  • VA = Inversión inicial (valor actual)
  • r = tasa de interés del periodo
  • n = número de períodos
  • (1+r) n : Factor de capitalización
  • : Factor de descuento
  • 1
  • (1+r) n
  • Tasas de interés compuesta y simple
  • Tasa de interés simple
  • Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo.
  • El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados
  • VF = Monto acumulado (valor final)
  • VA = Inversión inicial (valor actual)
  • r = tasa de interés del periodo
  • n = número de períodos
  • (1+r*n) : Factor acumulación simple
  • : Factor descuento simple
  • 1
  • (1+r*n)
  • ...continuación...
  • Tasas de interés compuesta y simple
  • Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simple
  • Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.
  • ¿Cuál será su valor al final del tercer año?
  • Con tasa interés compuesta:
  • C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
  • Con tasa interés simple:
  • C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360
  • 1000
  • 1405
  • 1120
  • 1254
  • 1+r
  • 1+r
  • 1+r
  • 1000
  • 1360
  • 1+r*3
  • ...continuación...
  • Intereses ganados:
  • Año 1: $ 120
  • Año 2: $ 134
  • Año 3: $ 151
  • Intereses ganados:
  • Año 1: $ 120
  • Año 2: $ 120
  • Año 3: $ 120
  • Tasas de interés compuesta y simple
  • Tasa de interés equivalente
  • Si se tiene una tasa de interés anual ra , la tasa de interés mensual equivalente rm, puede ser calculada usando las siguientes expresiones:
  • Con interés compuesto:
  • Con interés simple:
  • Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo.
  • ...continuación
  • Anualidades
  • Considere un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga al final de todos los años por un período de tiempo n a una tasa r
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • n-1
  • n
  • F1
  • F1
  • F1
  • F1
  • F1
  • Año:
  • Flujos
  • Actualizados:
  • F1
  • (1+r)
  • F1
  • (1+r)2
  • F1
  • (1+r)3
  • F1
  • (1+r)n-1
  • F1
  • (1+r)n
  • El Valor Actual de esa anualidad (F1) que implica la suma de todos esos flujos actualizados al momento 0 se define como:
  • Anualidades
  • ...continuación...
  • Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene:
  • El Valor Final de una anualidad (F1) que implica la suma de todos esos flujos llevados al periodo n y se define como:
  • Anualidades
  • ...continuación...
  • Ejemplo anualidad:
  • Suponga usted pagó cuotas mensuales de $250.000 por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1% mensual.
  • ¿ Cuál fue el valor del préstamo?
  • Anualidades
  • ...continuación...
  • Ejemplo anualidad:
  • Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en la AFP será de $20.000 mensuales, si la AFP le ofrece una rentabilidad mensual de 0,5%
  • ¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de jubilar?
  • Anualidades
  • ...continuación...
  • Ejemplo anualidad:
  • Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 y solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo (180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual.
  • ¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ?
  • Anualidades
  • ...continuación...
  • Si:
  • Entonces:
  • Así:
  • Anualidades
  • Perpetuidad
  • Considérese un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga a perpetuidad.
  • Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo lo suficientemente grande para considerar los flujos finales como poco relevantes dado que al descontarlos al año 0 son insignificantes.
  • El Valor actual de esa anualidad se define como:
  • ...continuación...
  • Ejemplo perpetuidad:
  • Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los 50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000 mensuales hasta que muera. La tasa de interés relevante es de 1% mensual y la empresa que le dará la renta supone una “larga vida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal vez 95 o porqué no 100 años).
  • ¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener para poder cubrir dicha obligación?
  • Anualidades
  • ...continuación
  • En rigor, usando la fórmula de valor actual de una anualidad (no perpetua) se tendría:
  • Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858
  • Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803
  • Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231
  • Todos muy cercanos a $5 millones
  • Inflación y tasas de interés
  • Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC
  • Inflación:
  • En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más.
  • $100
  • $100
  • Si π = 25%
  • Periodo 0
  • (Año 0)
  • Periodo 1
  • (Año 1)
  • Inflación y tasas de interés
  • La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida en la literatura con el nombre de igualdad de Fischer:
  • Donde i = tasa de interés nominal
  • r = tasa de interés real
  •  = Tasa de inflación
  • A
  • B
  • La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá incorporar:
  • A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)
  • B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder adquisitivo (tasa inflación)
  • ...continuación...
  • RESUMEN:
  • 2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real) * Poder adquisitivo (inflación)
  • Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%
  • Inflación y tasas de interés
  • $1100
  • $1375
  • Año 1
  • Año 1
  • Si π = 25%
  • $1000
  • $1100
  • Año 0
  • Año 1
  • Si r = 10%
  • ...continuación...
  • Inflación y tasas de interés
  • Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía donde la inflación es del 25% anual.
  • ¿ Cuál es la tasa real correspondiente ?
  • ¿ Cuánto es mi capital nominal al final del año ?
  • Ejemplo:
  • ...continuación...
  • Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r )
  • Donde =0,25 y i =0,375
  • Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r)
  • (1+r) = 1,1
  • r = 10%
  • Si el capital inicial es C0 = $ 500
  • Entonces: C1 = C0*(1+i)
  • = 500*(1,375)
  • C1= $ 687,5
  • Inflación y tasas de interés
  • ...continuación...
  • Inflación y tasas de interés
  • ...continuación
  • La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a futuro con el consiguiente problema de incertidumbre.
  • Nota importante
  • Inflación
  • Ejemplo: Inflactar
  • Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2001 son $7.000 millones pero éste será ejecutado a partir de enero del 2003.
  • Se deberá actualizar (inflactar) dicho costo según variación en Indice de Precios al Consumidor (IPC):
  • Si: IPC promedio 2001 = 108,67
  • IPC promedio 2002 = 111,38
  • 1
  • 1
  • t
  • t
  • IPC
  • IPC
  • CambioIPC
  • Así:
  • 7.174,6
  • )
  • 1
  • 67
  • ,
  • 108
  • 38
  • ,
  • 111
  • (
  • 1
  • (
  • *
  • 000
  • .
  • 7
  • t
  • Costo
  • Inflación
  • Ejemplo: Deflactar
  • Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2002 son $15.000 millones pero se necesita saber cual habría sido su costo real en el año 2001
  • Se deberá deflactar dicho costo según variación en Indice de Precios al Consumidor (IPC):
  • Si: IPC promedio 2001 = 108,67
  • IPC promedio 2002 = 111,38
  • Así:
  • 1
  • 1
  • t
  • t
  • IPC
  • IPC
  • CambioIPC
  • 14.635
  • )
  • 1
  • 67
  • ,
  • 108
  • 38
  • ,
  • 111
  • (
  • 1
  • (
  • 000
  • .
  • 15
  • 1
  • t
  • Costo



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